Sei 
offen und 
ein
--Vektorfeld. Wir interpretieren 
als
Geschwindigkeit einer strömenden Flüssigkeit im Punkte
. Die Flüssigkeit habe die Dichte 
.
Ist überall 
, so tritt
durch eine Rechteckfläche mit Inhalt 
, die orthogonal angeströmt wird, pro
Zeiteinheit die Flüssigkeitsmenge 
hindurch.
Wird sie schief angeströmt unter einem
Winkel 
, so tritt die Menge
hindurch (
= Normaleneinheitsvektor, er bildet mit der
Strömungsrichtung den Winkel 
.
Liegt dieser zwischen 
und 
,
so ist 
(falls 
), und man zählt die durchgeflossene Menge
als negativ. ) Ist 
variabel und das Rechteck
klein, so ist immerhin mit guter Näherung der Durchfluß
Der Durchfluß
durch eine Fläche wird deshalb definiert als
(Man beachte: 
)
Nun sei 
eine stückweise glatte geschlossene Fläche,
homöomorphes Bild einer Kugeloberfläche (bijektiv, in beiden
Richtungen stetig). Dann ist der Fluß
gleich der Menge von Flüssigkeit
die pro Zeiteinheit aus dem umschlossenen Gebiet
herausströmt. Wir nehmen dabei an, daß auf
die Einheitsnormale 
stets nach außen zeigt.
Sei etwa 
.
Wie groß ist die Entstehungsdichte? Wir lassen auf einen
Punkt schrumpfen, und stets sei 
das
umschlossene Gebiet. Wir bezeichnen mit 
das ``Volumen''
von 
. Dann ist die Entstehungsdichte, ``Quelldichte''
genannt, im Punkte 
gegeben als Grenzwert
sofern jeder Grenzwert existiert (dann sind alle
solche Grenzwerte einander gleich).Dabei läßt man 
als
Rand eines achsenparallelen Quaders
mit Kantenlängen 
schrumpfen auf den
Mittelpunkt 
.
Wenn 
``sehr klein''
sind, so hat man (mit 
jeweils
im Mittelpunkt der jeweiligen
Seitenfläche genommen) sechs
Flüsse
rechts: 
,
links: 
,
hinten: 
,
vorne: 
,
oben: 
,
unten: 
.
Addiert man alles auf, dividiert durch 
,
und läßt 
gehen, so folgt
Beweis:
Wir bezeichnen die sechs
begrenzenden Seitenflächen
mit Rechts, Links, Oben,
Unten, Vorn, Hinten. Dann ist
Der Reihe nach ist auf diesen Seitenflächen (abgesehen von Kanten
und Ecken)
.
Nun ist 
denn auf Rechts ist
und 
,
und auf Links ist
und 
,
und sowohl auf Rechts als auch auf Links ist 
, denn man kann auf ihnen 
und 
als Parameter verwenden,
z.B. ist
Der verbleibende Rest läßt sich analog umformen:
Auf Oben und Unten ist 
,
auf Vorne und Hinten ist 
.
Faßt man alles zusammen, so bekommt man die Behauptung.
